关于传染病的数学模型有哪些？

如果我告诉你 1 月 2 日就开始控制，那么我们只需戴口罩，不用隔离、禁足就能战胜这场浩劫，你会相信吗？

如果我告诉你 1 月 20 日钟南山院士不站出来肯定“存在人传人”，那么再晚 2 天，武汉的确诊人数就要翻倍，你会相信吗？

如果我告诉你没有 2 月 5 日王辰院士提出的“方舱医院”实现”应收尽收”，武汉疫情持续到 6 月份也结束不了，你会相信吗？

如果我告诉你没有 2 月 15 日政府组织的“大排查”，最终确诊人数将增加 40%，你会相信吗？

二月初，在全国疫情最为焦灼和“吃劲”的时刻，一群来自五湖四海的年轻人集结在了一起，拿起数学的武器自发对抗疫情：收集信息，整理数据，统计分析，模型讨论，编程模拟….2 个多月的日夜奋战，终于有所突破。

将梳理出疫情分析系列，这里是第一篇：武汉复盘之关键时刻。谨以此文献给英雄的战疫人员！

一、时间线回顾

我们按照防疫措施介入的时间将以上时间线分为四个阶段：

阶段一（12 月 1 日至 1 月 1 日）：无预警期，在这段时间内，病毒开始在人群中小规模传播，因时间仓促无法定性，武汉市民对其毫无预警和防御措施。

阶段二（1 月 2 日至 1 月 22 日）：无措施期，在这段时间内，社会上小道消息开始传播，官方逐渐披露部分病例信息，武汉市民对病毒开始有一定的警惕意识，但由于其他原因，医院和群众都未采取任何防疫措施。

阶段三（1 月 23 日至 2 月 15 日）：封城初期，钟南山院士宣布“存在人传人”后 2 天即武汉封城起，市民活动强度骤减、政府大幅度提高病例检测力度，但由于患者数量激增，武汉市医疗资源被挤兑，大量确诊病例无法住院，只能回家自我隔离或不断赴医院排队，造成大量家庭和医院感染。

阶段四（2 月 15 日 -3 月 19 日）：全面严控期，政府采取更严格管控措施限制人员活动和密切接触；紧急增加床位并设立方舱医院，力推“大排查”和“应收尽收”，集中收治轻症患者，切断家庭和医院感染途径。

我们按照医疗系统的承受能力将武汉疫情分为两个阶段：

初始爆发期，在该阶段医疗资源充分，病人只要被确诊都会住院得到医治并有效隔离。

医疗系统紧张期，在该阶段医疗系统剩余容量不足，大量被确诊患者没有得到收治或隔离，并继续感染他人。

二、防控措施

武汉政府和市民采取的主要防控措施可分为以下四种：

措施 1：通过增加病床数量，尽可能多的收治确诊病人，使其不再成为传染源，该措施可以延缓医疗资源紧张期的到来时间。

措施 2：通过“社交疏远”等措施，降低人员密切接触次数和病毒传播机会，该措施可成比例的降低每日新增感染者人数。

措施 3：通过戴口罩，勤洗手等措施，降低病毒通过飞沫、气溶胶等途径传播给他人的概率，该措施可成比例的降低每日新增感染者人数。

措施 4：通过快速就诊和全面检测等措施，缩短感染者的就诊时间和确诊时间。该措施可缩短感染者将病毒传播给他人的时间长度。

三、数学模型

经典的传染病 SEIR 模型将人群分为易感者（Suspected）、潜伏者（Exposed）、感染者（Infected）和移除者（Removed，指代死亡或康复），四种人群之间以一定的速率转化，如下图所示：

然而在突发初期感染者相对于总人口比例非常低，移除人群相对于感染人群比例也非常的低。我们发现 SEIR 模型更适合描述传染病长期传播的情况，而不能及时反应防控措施的效果。

于是，我们设计了能够直接反映防控措施效果的模型。模型参数与变量见表 1。

模型解释与递推关系：在易感人群中出现若干初始感染者，数量为 I(0)，这个数可能很小。初始感染者经过潜伏期之后进入发病期(onset), 而发病期间的传染性最强。在发病到确诊并隔离这中间，感染者将在人群中传播病毒。我们设每人平均每日密切接触人数为 r, 而易感者单次与发病期感染者密切接触中招概率为 β. 所以每日新增的感染者 Δ I(t) 正比于前一日的发病且未被隔离人数 O(t-1)，比例系数为 rβ, 即

由此，我们发现，发病且未确诊隔离的病例 O(t) 在病毒传播中起到关键作用。那么传播者是如何退出传播的呢？我们设发病者每日就诊概率为 σ，就诊者当日确诊概率为 α，则我们有每日确诊者的关系：

另外，就诊率，确诊率与平均就诊期，平均确诊期成倒数关系：

如果医疗系统有足够的隔离病房可以收治所有的确诊者，那么患者在确诊的时候就退出了传播不会再传染其他人。医疗系统在这里为病毒传播提供了退出机制。我们有传播者 O(t) 的变化关系：

其中第 t 天的 O(t)增量等于一个潜伏期前感染者增量(经过一个潜伏期 Tin 之后进入发病期)，而 O(t)的减量为前一日确诊并隔离的人数。

我们发现，医疗系统的容量是控制病毒的关键。当确诊者超出医疗系统承受力，将会有已被确诊但不能隔离的病患继续感染其他人。我们设确诊并没有被隔离的人数为 A(t). 则上面新增感染者的公式调整为

而 A(t)需要通过增加医疗系统容量来消化。增加医疗系统容量的方式包括：治愈出院人数，医院病亡人数以及新建容量。所以模型中涉及到了治愈率，死亡率，平均治愈期，平均病亡期，以及医院新增床位数。通过模拟，我们发现当医院满员无法接受新确诊的病患时，感染人数会迅速的升高。我们把医疗系统病患满员的时刻称为紧张时刻。此后，疫情进入医疗系统紧张期。这期间医疗系统对病毒传播的控制作用很有限，需要其他防控措施的介入。我们给出判断医疗系统紧张期的数学判据，剩余隔离床位小于当日确诊人数，即：

关于四种主要防疫措施效果的量化。措施一可以额外增加医疗系统的容量，消化发病 O(t) 与未隔离 A(t) 人群。措施二与措施三可以降低感染比例系数 r 与 β. 措施四可以提高每日确诊人数 C(t)，这在防疫初期很有作用，但是当医疗系统已经无法收治新确诊者时，就没有明显作用了。

数据搜集和参数估算 2 月初至今，团队从各省市卫健委官网搜集到武汉和其他省市官方每日确诊病例数信息、已公布信息的确诊病例年龄、感染时间、就诊时间、确诊时间、住院时间信息，武汉床位和方舱每日供应数量等医疗资源信息，并从《柳叶刀》、《新英格兰医学杂志》等顶级医学杂志发表的冠状病毒相关论文搜集整理病毒传播数字特征和分析结论，通过数据积累和计算，完成了对表 1 变量初值和参数的估算。

四、武汉复盘

变量和参数设置

官方通告中，12 月 8 日武汉首例确诊者出现症状。我们设初始时间 t=0 对应于 12 月 1 日。我们将初始传染者人数设置为 I(0)=5；武汉每人每日平均密切接触人数 r 设置为 14；采取防疫措施后 r 设置为 5。这两个估计值 I(0)=5 与 r =14,5 对应的模拟结果与武汉官方公布的每日新增确诊人数大体吻合。

根据《新英格兰医学杂志》发表的论文《 Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus-Infected Pneumonia》对武汉早期 425 个确诊病例分析，2019 年 12 月 1 日至 2019 年 12 月 31 日期间，病人平均发病到就诊的时间为 5.8 天(95%CI 4.3-7.5 )；1 月 1 号至 1 月 22 号为 4.6 (95%CI 4.1-5.1) 天。因此我们将就诊率 σ 在这两个阶段的值分别设置为 0.17 和 0.22；1 月 23 日后宣布封城后，有症状患者的就医意愿会显著增加，我们把此时的 σ 设置为 0.5(相当于发病患者平均两天就诊)；2 月 15 日大量增加检测能力和全面排查后，我们认为 σ 上升至 0.9。

我们估计病人平均就诊到住院（隔离）时间 N2 为 3 天，对应于确诊率 α=0.3，2 月 15 日开始“大排查”和“应收尽收”后，我们估计α=0.8. 无自我保护措施的情况，我们估计病毒传染性 β=0.04，在自我保护措施下，我们设置 β=0.02。(有论文论证戴口罩可把传染性降低一半，见参考文献)

根据武汉市政府公布的每日床位剩余情况数据，我们估计武汉市各医院的初始床位总数为 3000 张，疫情进入紧张期之后每日新增床位数为 800 张。自 1 月 23 日起，连续增加 24 天床位。此外，自 2 月 5 日起，武汉市开始修建方舱医院（王辰院士提出），集中收治确诊患者。每日增加方舱床位数约 2000 张，持续增加 10 天，共计约 20000 张。

根据以上分析武汉在四个阶段中模型参数的设置如表 2 所示：

模拟结果

将表 2 中的参数配置至 Python 程序中，生成的模拟结果和官方公布的武汉病例数字做对比，见表 3 与图 3AB

从图 3A 可看出，Python 程序模拟的每日确诊 C(t) 数字与官方公布的每日确诊数字差别不大，除个别时间段外，总体增长趋势保持一致。从图 3B 可看出，官方公布的武汉每日新增确诊数字和计算机模拟的每日新增数字在整体形状上基本相似，但模拟数据约 10 天提前于官方发布。我们分析有如下三个原因：

一、程序模拟中参数变化的效果会立即在输出结果中显现。而在现实中的防控措施需要一段时间才能被完整实施；

二、现实中每日新增确诊人数从实验室确诊到官方汇总统计报道有若干天的延迟；

三、程序中将 12 月 1 日设定为疫情初始 (t=0) 并设初始感染者为 5 例。这未必符合真实情况。但这也给追溯疫情提供了一个思路。通过在模拟中调整初始时间与初始感染者，根据模拟结果与实际情况的对比，可以更准确地反推疫情开始时间以及初始感染人数。

特别地，Python 程序模拟显示，武汉进入医疗资源紧张期于 t=56 天，即 1 月 26 日。这和新闻报道中武汉医疗资源出现紧张、各大医院向外界紧急求援的日期高度一致。

同时，我们发现，在武汉组织“大排查”、“应收尽收”和采取建造方舱医院措施后，武汉市每日新增确诊病例虽然立刻出现了较大幅度的增长，但后续增长数量随之出现了大幅下跌，且不再出现反弹。这说明武汉的“大排查”、“应收尽收”和“方舱医院”是非常时期最为明智的抗疫决策。

我们通过测试参数配置发现：如果没有方舱医院，确诊人数清零需要 220 天，武汉疫情会持续到 6 月份，最终确诊人数超过 10 万。如果没有“大排查”和“应收尽收”，武汉疫情也要持续到 6 月份，最终确诊人数超过 7 万。

五、What If 提早或延后干预

武汉复盘模拟之后，我们考虑如果改变防控措施介入的时间节点会出现什么结果？我们对 Python 程序中的参数改变时间做出调整后，得到了令人吃惊的结果。

1 月 2 日 – 早期防控

我们假设武汉防控措施在 1 月 2 日开始启动。这样假设对于未知病毒属性的疫情突发情况并不现实，但对于疫情后发国家则有很重要的借鉴经验。我们考虑两种假设的防控等级：一是严格控制，令每人每日平均密切接触人数 r=5；二是一般控制，即采取和目前复工复产后类似强度的限制人员接触措施，令 r=10. 全部参数设置如表 4 所示：

Python 程序模拟结果显示，因采取防控措施较早，两种防控等级下，武汉医疗资源都不会出现挤兑而进入紧张期。即便在初期检测试剂盒不够的条件下（令确诊率α=0.3），市民只采取戴口罩（传染性 β=0.02）、降低人员密切接触次数（密接 r=5 或 10）和快速送诊、集中排查（就诊率σ=0.8）三种措施，即可将疫情控制在感染总人数 1000-5000 范围内。

值得注意的是，“一般控制”情况极具有借鉴意义：在该情况下，社会不停工停产，社交弱隔离，疫情也得到了控制，医疗资源不会紧张，而这种程度防控措施对社会经济冲击较小，但疫情会在低水平持续 10 个月。我们推测当前韩国的情况就属此类(下期内容详细分析)。

1 月 23 日 – 钟南山时刻

如果 1 月 2 日即行防控措施，可以在不严重损伤社会经济的情况下控制武汉疫情。那么 1 月 23 日实施防控是否可以说是武汉控制疫情的关键时刻？ 通过将防控措施推迟几天的模拟，我们发现如果在 1 月 25 日才开始采取控制措施那么最终感染者数量将会出现大幅度跃升，武汉在 3 个月内无法控制住疫情，医疗资源会持续性紧张。表 5 是 Python 程序模拟结果：

我们根据模型模拟结果推测，如果防控措施推迟三天即 1 月 26 日，90 天内感染人数可能会高达十万人，是现在报告人数的二倍！让我们再次回想当初的情况，钟南山院士 1 月 20 日晚在记者招待会上宣布肯定存在“人传人”，两天后的 1 月 23 日清晨武汉宣布封城。假如再迟 3 天，我们就要付出不可想象的代价。1 月 20 日，也是当之无愧的“钟南山时刻”！

尾声：

当我们用科学的眼光再次审视武汉疫情，才发现看似岁月静好的时光潜藏着怎样的暗流汹涌，更发现大灾大难之下闪耀的英雄之星。正是他们在关键时刻力挽狂澜，才让我们从病毒手中赢回了武汉，赢回了中国！让我们记住这一个个名字张继先、钟南山、王辰……

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